Resolvamos el siguiente ejemplo
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los 3 puntos P1 (5, 6) P2 (7 , -2) y P3 (-1, 2)
Solución:
- Paso 1, determinar la mediatriz del primer lado del triángulo, el segmento P1P2. Para ello es necesario primero determinar las coordenadas del punto medio:
Xm = (x1 + x2) /2 = (5+7) /2 = 12/2 = 6; Ym = (y1 + y2) /2 = (6-2) /2 = 4/2 = 2; Por lo que el punto medio sería Pm (6, 2)
Ahora se requiere determinar la pendiente, primero del segmento P1P2 (m1) y luego de la mediatriz (m2); m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 6) / (7 - 5) = -8/2 = -4
Aplicando la condición de perpendicularidad obtenemos que m2 = -1/m1 = -1/-4 = 1/4
Ahora con el punto medio y la pendiente obtenemos la ecuación de la mediatriz: y - ym = m2 (x - xm); y - 2 = 1/4 (x - 6) ; 4y - 8 = x - 6;
x - 4y + 2 = 0
- Paso 2: repetimos todo para obtener una segunda mediatriz, esto ahora lo haremos con el segmento P2P3: Pm (3, 0); m1 = -1/2; m2 = 2 Con Pm y m2 obtenemos la ecuación de la segunda mediatriz; 2x - y - 6 = 0
- Paso 3: en ese punto ya contamos con dos mediatrices, lo que nos crea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual vamos a resolver multiplicando la primera ecuación por 2 y restándole la segunda, lo que nos queda:
(2x - 8y + 4) - (2x - y - 6) = 0; -7y + 10 = 0; y = 10/7 = 1.43
Se sustituye ese valor de "y" en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de "x": x - (4)(1.43) + 2 = 0; x = 3.72
Con lo que ahora conocemos el circuncentro o también las coordenadas del centro de la circunferencia que une a los tres puntos:
C (3.72, 1.43)
Tal como se explicó anteriormente, ahora solo tenemos que sustituir en la fórmula:
Sustituimos los valores del circuncentro (h, k) y las coordenadas de cualquiera de los tres puntos, en este ejemplo los de P1 (x1, y1) y nos queda:
Resolvemos y nos queda: 
Acomodamos y despejamos para igualar a cero y obtener la forma general
x2 + y2 - 7.44x - 2.86y - 6.64 = 0
Ahora solo resta hacer la gráfica correspondiente
Fuente: Elaboración propia