La sucesión de números 1,11,21,31 ¿es una progresión aritmética? Si es así ¿Cuál es la suma de los primeros 10 números de esta serie

Respuesta:  Sí, es una progresión aritmética dado que entre los números de la sucesión se tiene una diferencia común igual a 10.

Para determinar la suma de las primeras 10 cifras de esta serie utilizamos la fórmula

S = ¹/₂(2a₁+d (n-1)) n             donde:

• S = suma de las cifras
• a₁ = primer cifra
• d = diferencia entre cifras
• n = número de cifras

entonces:     

• S = ¹/₂((2)(1) + 10 (10-1)) 10 =
• S = ¹/₂(2 + 10 (9)) 10 =
• S = ½ (2 + 90) 10 = ½ (92) 10 = 460

Determina los tres números de una progresión aritmética que sumados es igual a 15 y que la suma de sus cuadrados es igual 93.

Respuesta: primero vamos a determinar una de las tres cifras, en este caso la segunda a la cual llamaremos “a” y dado que la diferencia es “d” y que su suma debe ser igual a 15, entonces las tres cifras se pueden representar por:

(a – d) + a + (a + d) = 15

Al resolver esta ecuación se obtiene:  3a = 15  por lo que:    a = 5

Ahora consideremos la segunda clave que nos plantea el problema “la suma de los cuadrados es 93”, haciendo la misma reflexión que en el paso anterior obtenemos la ecuación:

(a - d)² + a² + (a + d)² = 93

Ahora que sabemos que a = 5, sustituimos el valor y resolvemos:

(5 - d)² + 5² + (5 + d)² = 93               (25 – 10d + d²) + 25 + (25 + 10d + d²) = 93

75 + 2d² = 93             2d² = 93 – 75 = 18

d² = 18/2 = 9              d = ±3

Se sustituye los valores de “a” y “d” y se obtienen las siguientes progresiones que cumplen con las características mencionadas en el problema:  

1. 2, 5, 8
2. 8, 5, 2

El cuarto término de una progresión aritmética es igual a 10 y el sexto es igual a 16. Encuentra la progresión.

Analizando el problema se observa que se desconocen a₁, a₂, a₃ y a₅, solo sabemos el valor de a₄ = 10 y el de a₆ = 16.  Para este problema podemos utilizar la siguiente expresión:

a_n = a_k + (n – k) d                          donde:

• a_n = 16, por ser el último o enésimo término
• n = 6 dado que el último termino de esta serie es el sexto
• a_k = a₄ = 10, se aplica el término “k” para el número del término conocido
• k = 4 por ser el cuarto término el conocido
• d = diferencia

Sustituimos y resolvemos:

16 = 10 + (6 – 4) d                              16 – 10 = 2d

d = 6/2 = 3

Con el valor de “d” podemos determinar toda la serie.

• an = 16
• a5 = an – d = 16 – 3 = 13
• a4 = a5 – d = 13 – 3 = 10
• a3 = a4 – d = 10 – 3 = 7
• a2 = a3 – d = 7 – 3 = 4
• a1 = a2 – d = 4 – 3 = 1